初等函数在其定义域内 初等函数在其定义域内都是连续的

2025-01-29 08:41:39 | 来源: 互联网整理

函数定义域浅谈

在某变化过程中有两变量X 和Y，对X的每一个值，Y都有唯一确定的值与其对应，则称Y为X的函数。将函数存在的X的取值范围称为函数的定义域。象分母不能为零、偶次开方的被开方数非负、对数的真数大于零、对于两个函数形成的复杂函数必须是每一个函数同时成立。

函数定义域应用应用广泛。尤其是求函数极限时都不自觉地服从了函数的定义域。求分式函数当自变量趋于某确定值的极限时，如将自变量值带进去后，分式的分子分母同为零，说明分式函数在自变量处有间断点，只有分子分母分解因式约分变成最简分式后，方可带自变量值求极限。这样的过程就是遵循分母不能为零的原则。也可以说就是要使分式函数在自变量处有定义。

一切初等函数在其定义域上均为连续函数。只有连续函数在自变量处的函数值才为极限值。有力说明了初等函数在定义域上取值才连续、才有极限的道理。

可导必连续，连续不一定可导。函数的不定积分与导数互为逆运算。函数在有限个第一类间断点处或连续时，定积分才存在。无不说明函数的定义域与微积分的密切关系。此外，函数定义域在函数绘图及广义积分等方面也有重要应用。

函数定义域在数学学习上的应用

在某变化过程中有两变量X 和Y，对X的每一个值，Y都有唯一确定的值与其对应，则称Y为X的函数。将函数存在的X的取值范围称为函数的定义域。象分母不能为零、偶次开方的被开方数非负、对数的真数大于零、对于两个函数形成的复杂函数必须是每一个函数同时成立。

函数定义域是函数存在的自变的取值范围。函数只有当自变量在定义域内取值才存在。只有函数存在，才可能研究极限和连续性及微积分等。

只有在定义域内，才能将自变量换成单项式和多项式，从而由一个公式变成无数个公式，实现函数的广义性。

值域与定义域相对应，只有函数自变量在定义域内取值，函数值才可能存在。才能建立函数值与自变量的对应关系。

函数在定义域内取值，才能连续。从而实现初等函数在定义内均为连续函数的特性。连续函数的极限值就是自变量带进去的函数值。

函数定义域应用广泛。尤其是求函数极限时都不自觉地服从了函数的定义域。求分式函数当自变量趋于某确定值的极限时，如将自变量值带进去后，分式的分子分母同为零，说明分式函数在自变量处有间断点，只有分子分母分解因式约分变成最简分式后，方可带自变量值求极限。这样的过程就是遵循分母不能为零的原则。也可以说就是要使分式函数在自变量处有定义。

一切初等函数在其定义域上均为连续函数。只有连续函数在自变量处的函数值才为极限值。有力说明了初等函数在定义域上取值才连续、才有极限的道理。

可导必连续，连续不一定可导。函数的不定积分与导数互为逆运算。函数在有限个第一类间断点处或连续时，定积分才存在。无不说明函数的定义域与微积分的密切关系。此外，函数定义域在函数绘图及广义积分等方面也有重要应用。

2021年高中数学 基本初等函数定义域、值域、4大性质、零点问题